Набирая номер телефона своего товарища николай забыл

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!

Настройки текста:


событие А. из 15 бильярдных шаров с номерами от 1 до 15 взять на­
угад шар с номером 1;
событие В. из 15 бильярдных шаров с номерами от 1 до 15 взять на­
угад шар с номером 7;
2) событие Л: из 15 бильярдных шаров с номерами от 1 до 15 взять на­
угад шар с чётным номером;
событие В: из 15 бильярдных шаров с номерами от 1 до 15 взять на­
угад шар с нечётным номером?
) 634. Какова вероятность того, что при одном бросании игрального кубика
выпадет количество очков, равное:
1) одному,
2) трём;
3) чётному числу;
4) числу, кратному 5;
5) числу, которое не делится нацело на 3;
6) числу, кратному 7?
635. Представь себе, что в классе, в котором ты учишься, разыгрывается
одна бесплатная туристическая путёвка в Лондон. Какова вероят­
ность того, что в Лондон поедешь ты?
636. Чтобы сдать зачёт по математике, надо выучить 35 билетов. Студент
выучил безупречно 30 билетов. Какова вероятность того, что, отвечая
на один наугад вытянутый билет, он получит оценку 5 баллов?
637. Чтобы сдать зачёт по математике, надо выучить 30 билетов. Студент
не выучил только один билет. Какова вероятность того, что он не
сдаст зачёт, отвечая на один билет?
638. Какова вероятность того, что имя ученицы вашего класса, которую
вызовут к доске на уроке алгебры, —Екатерина?
639. В классе учится 12 девочек и 17 мальчиков. Все ученики имеют рав­
ные вероятности опоздать в школу. Один учащийся опоздал в шко­
лу. Какова вероятность того, что это:
1) был мальчик;
2) была девочка?
840. В лотерее 20 выигрышных билетов и 280 билетов без выигрыша. Ка­
кова вероятность выиграть, купив один билет?
177

641. В коробке лежат 7 синих и 5 жёлтых шаров. Какова вероятность того,

что выбранный наугад шар окажется: 1) жёлтым; 2) синим?
Q 642. В коробке лежат 23 карточки, пронумерованные от 1 до 23. Из короб­

ки наугад взяли одну карточку. Какова вероятность того, что на ней
записано число:
1) 12;
8) простое;
2) 24;
9) в записи которого есть цифра 9;
3) чётное;
10) в записи которого есть цифра 1;
4) нечётное;
11) в записи которого отсутствует цифра 5;
5) кратное 3;
12) сумма цифр которого делится нацело на 5;
6) кратное 7;
13) которое при делении на 7 даёт в остатке 5;
7) двузначное;
14) в записи которого отсутствует цифра 1?
643. Из натуральных чисел от 1 до 30 наугад выбирают одно число. Какова
вероятность того, что это число будет;
1) простым;
2) делителем числа 18;
3) квадратом натурального числа?
644. Набирая номер телефона своего товарища, Николай забыл:
1) последнюю цифру;
2) первую цифру. Какова вероятность того, что он с первой попытки
наберёт правильный номер?
645. Какова вероятность того, что твой самый счастливый день в следую­

щем году попадёт на;
1) 7-е число;
2) 31-е число;
3) 29-е число?
646. Грани кубика раскрашены в красный или белый цвет (каждая грань
в один цвет). Вероятность выпадения красной грани равна ^ . Сколь­
ко красных и сколько белых граней у кубика?
647. Грани кубика раскрашены в два цвета — синий и жёлтый (каждая
грань в один цвет). Вероятность того, что выпадет синяя грань, рав2

на — . Сколько синих и сколько жёлтых граней у кубика?
648. В коробке лежат 2 синих шара и несколько красных. Сколько красных

шаров в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад шар:
9
1) окажется синим, равна — ;
5
2) окажется красным, равна —?
5
649. Карточки с номерами 1, 2, 3 произвольным образом разложили в ряд.

Какова вероятность того, что карточки с нечётными номерами ока­
жутся рядом?
178

650. На скамейку произвольным образом садятся два мальчика и одна де­

вочка. Какова вероятность того, что мальчики окажутся рядом?
651. В коробке лежат 5 зелёных и 7 синих карандашей. Какое наименьшее

количество карандашей надо вынуть наугад, чтобы вероятность того,
что среди вынутых карандашей хотя бы один будет зелёного цвета,
была равной 1?
652. В коробке лежат 3 красных, 7 жёлтых и 11 синих карандашей. Какое
наименьшее количество карандашей надо вынуть наугад, чтобы веро­
ятность того, что среди вынутых карандашей хотя бы один будет крас­
ного цвета, была равной 1?
653. Бросают одновременно два игральных кубика. С помощью рисунка 93
установите, какова вероятность того, что выпадут:
1) две единицы;
2) два одинаковых числа;
3) числа, сумма которых равна 7;
4) числа, сумма которых больше 10;
5) числа, произведение которых равно 6.
у 654. Бросают одновременно две монеты. Какова вероятность того, что вы­
падут:
1) два герба;
2) герб и число?

___

655. Какова вероятность того, что при трёх подбрасываниях монеты:

у

656.

657.

658.

659.

1) трижды выпадет герб;
2) дважды выпадет герб;
3) один раз выпадет герб;
4) хотя бы один раз выпадет герб?
Какова вероятность того, что при двух бросках игрального кубика:
1) в первый раз выпадет число, которое меньше 5, а во второй —боль­
ше 4;
2)


В урне пять шаров разного
размера. Какова вероятность вытянуть все шары по возрастанию, если известно,
что одинаковых шаров нет?

Решение. Общее число
возможных элементарных исходов опыта равно числу перестановок из пяти элементов
, а число исходов, благоприятствующих
событию, равно единице.

Искомая вероятность:

.

Задача 17.

Набирая номер телефона,
абонент забыл последние две цифры, и помня что они различны, набрал их на
удачу. Какова вероятность того, что он набрал нужный номер?

Решение. Общее число
возможных исходов опыта равно числу размещений из 10 по 2, т. е. . Число исходов, благоприятствующих
событию, равно единице.

Искомая вероятность:

.

Задача 18.

В ящике стола имеется 15
тетрадей, 8 из них в клеточку.Наудачу взяли три тетради. Найти вероятность
того, что все три взятые тетради окажутся высшего качества.

Решение. Так как порядок
здесь роли не играет, то общее число всевозможных исходов будет равно числу
сочетаний из 15 по 3, т. е. , а число
благоприятствующих событию равно тоже числу сочетаний из 8 по 3.

Искомая вероятность:

.

Задача 19.

В группе 15 студентов, 8 из
которых отличники. Наудачу (по списку) вызвали 6 студентов. Найти вероятность
того, что 4 студента из вызванных окажутся отличниками.

Решение. Число всевозможных
исходов опыта здесь равно числу сочетаний из 15 по 6, .

Благоприятной считаем такую
комбинацию, в которой 4 студента-отличника, а 2 — нет. 4 отличника можно
выбрать из 8 отличников способами, при
этом остальные 6-4=2 студента (не отличники) выбираем из 15-8=7 студентов способами.

Если к каждой четверке
отличников присоединить одну из пар

студентов, не отличников, то получим
“благоприятные” группы из 6 человек. Их число равно m =.

Искомая вероятность:

Задача 20.

Первая трудность, которую
преодолел Паскаль в своей переписке с шевалье де Маре, связана с точным подсчетом
случаев. Речь шла об игре, при которой бросают три кости, и один из игроков
заключает пари, что сумма на выброшенных гранях будет больше чем 10, а другой — что она будет
равна или меньше 10. Легко видеть, что шансы обоих игроков равны. Но трудность
была в следующем. Терпеливый учет очень большого числа партий показал шевалье
де Маре, что тот кто ставит на сумму, большую 10, чаще выигрывает с 11,чем с12
очками. Однако, возражал Мере,11 очков можно получить шестью различными
способами (6-4-1; 6-3-2; 5-5-1; 5-4-2; 5-3-3; 4-4-3), и 12 очков тоже можно
получить шестью способами (6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 5-4-3; 4-4-4). Ответ
Паскаля очень прост: сочетание 6-4-1 не является простым, а шестикратным, так
как, если пронумеровать кости или если каждую из трех костей окрасить по
разному, чтобы можно было их различить, значение 6 может быть получено на
каждой из трех костей, а значение 4 — на каждой из двух остающихся, что уже
составляет шесть комбинаций. Напротив, такое сочетание, как 5-5-1, может быть
получено только тремя различными способами, а сочетание 4-4-4 — единственным
способом.

Следовательно, если
желательно узнать действительное число различных способов получить 11 или
получить 12 очков, то надо для каждого из этих случаев составлять сумму тех
шести чисел, которые соответствуют сочетаниям,

тогда как для случая 12 очков мы имеем

Отсюда заключаем, что в среднем мы
получаем 11 очков 27 раз, тогда как 12 очков мы получаем 25 раз, и этот
результат отлично сошелся с наблюдениями шевалье де Мере.

Пример 4.
Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение.
Обозначим через А
событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр. Поэтому общее число возможных элементарных исходов 10. Эти исходы равновозможные (цифра набрана наудачу) и образуют полную группу (хотя бы одна цифра обязательно будет набрана), то есть . Нужная цифра всего одна. Поэтому для события А
А
.

Пример 5.
Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение.
Обозначим через В
событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько пар различных цифр, сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по 2, то есть . Поэтому общее число равновозможных элементарных исходов . Нужное сочетание двух цифр всего одно. Поэтому для события А
благоприятен всего один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятных событию А
к числу всех элементарных исходов: .

Пример 6.
В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей, ровно 4 стандартных.

Решение.
Пусть событие А
– среди 6 взятых деталей ровно 4 стандартных. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, то есть числу сочетаний из 10 элементов по 6 (). Подсчитаем число исходов, благоприятных событию А
: 4 стандартные детали можно взять из 7 стандартных деталей способами. При этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными. Их можно взять из 10-7=3 нестандартных деталей способами. Следовательно, число благоприятных исходов . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятных событию А
, к числу всех элементарных исходов.

Задание №1

Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Задание №2

Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины Х:

Найти интегральную функцию F(x)

Задание №3

В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Задание №4

Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, все эти три вынутые детали окажутся стандартными.

Задание №5


Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: = 0,8; = 0,7; = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Задание №6

Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Задание №7

Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны – 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

Задание №8

Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Задание №9

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Задание №10

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

Задание №11

Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

Задание №12

Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число Е, чтобы с вероятностью 0,9876 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,8 не превысила Е.

Задание №13

Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет:

а) менее двух раз;

б) не менее двух раз.

Задание №14

В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Задание №15

Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появления события в этих испытаниях было равно 25?

Задание №16

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения.

Найти: дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение (X) и построить многоугольник распределения.

Задание №17

Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

Задание №18

Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: а также известны математические ожидания этой величины и ее квадраты:

М(X)=2,3 и М(X)=5,9.

Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

Задание №19

Случайная величина Х задана интегральной функцией

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (-1;1)

Задание №20


Дискретная случайная величина задана законом распределения

Найти интегральную функцию и построить ее график.

Задание №21

Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией
в интервале (0; π/3); вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (
)

Задание №22

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков

Задание №23

Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.

Задание №24

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:


Х


-5

2

3

4

р


0,4

0,3

0,1

0,2

Задание №25

Вероятность появления события а в каждом испытании равна ½. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события А будет заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний.

Задание №26




1

8

10

12



5

3

8

4

Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

Задание №27

Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки


№ п/п

Численность занятых,

человек


Число фирм

7-12

4

12-17

6

17-22

4

22-27

3

Свыше 27

3

Задание №28

Выборка задана в виде распределения частот




1

3

6

26



8

40

10

2

Вычислить точечные оценки.

Задание №29

Для построенного интервального ряда рассчитайте доверительный интервал при γ=0,99 и t=2,861


№ п/п

Численность занятых,

человек


Число фирм

218-347

2

347-476

5

476-605

6

605-734

4

734-863

1

863-992

2

Задание №30

Выборка задана в виде распределения частот




2

4

8

15



15

23

18

24

Построить полигон относительных частот.

Примеры непосредственного вычисления вероятностей

Пример 1.34
. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наугад. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение
. Обозначим через А
событие — набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует собы­тию А
лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая веро­ятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих со­бытию, к числу всех элементарных исходов:

Р (А)
= 1/10.

Пример 1.35.
Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры «различны, набрал их на­угад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение
. Обозначим через В
событие — набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т. е. Таким образом, общее число возможных элементар­ных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В
лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благо­приятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: Р (В)
= 1/90.

Пример 1.36.
Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А).

Решение
. Общее число равновозможных исходов испытания равно 6∙6 = 36 (каждое число выпавших очков на одном кубике может сочетаться со всеми числами очков другого кубика). Среди этих исходов благоприятствуют событию А
только 3 исхода: (I; 3), (3; I), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность

Р (А)
= 3/36 =1/12.

Пример 1.37.
В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероят­ность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение
. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов ().

Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А
(среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей спо­собами; при этом остальные 6 — 4 = 2 детали должны быть нестан­дартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 — 7 = 3 нестандарт­ных деталей можно способами. Следовательно, число благоприя­тствующих исходов равно

Пусть пространство элементарных исходов конечно, т. е. , и исходы равновозможны. Тогда вероятность каждого исхода постоянна, и в сумме они дают единицу. Если событию А соответствует M частных случаев из полной группы в N равновозможных событий, то Вероятностью события А называют величину . Вероятность события есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим событие А = {набрана нужная цифра}. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов = 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А только один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность: .

Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры разные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим В = {набраны нужные цифры}. Сколько можно набрать различных цифр? Сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по 2: . Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В только один исход. Искомая вероятность: .

Пример 3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А).

Решение. Общее число равновозможных исходов испытания равно , т. к. каждое число, выпавшее на одном кубике, может сочетаться со всеми числами на другом. Событию А благоприятствуют 3 исхода: {1,3}, {2,2}, {3,1}. Искомая вероятность: .

Пример 4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10: . Определим число исходов, благоприятствующих событию А = {среди 6 взятых деталей 4 стандартных}. 4 стандартные детали из 7 можно взять способами. При этом остальные 2 детали должны быть нестандартными. Взять 2 нестандартные детали из 3 можно способами. Число благоприятных исходов равно . Искомая вероятность: .

< Предыдущая   Следующая >

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Набирая номер телефона абонент забыл цифру и набрал ее наудачу
  • На телефоне нет денег на теле2 как позвонить оператору
  • Набирая номер телефона абонент забыл последние три цифры
  • На телефоне гаснет экран после набора номера
  • Набирая номер телефона абонент забыл последние две цифры и помня лишь что эти цифры различны