Набирая номер телефона абонент забыл последние две цифры и помня лишь что они различны

Пусть пространство элементарных исходов конечно, т. е. , и исходы равновозможны. Тогда вероятность каждого исхода постоянна, и в сумме они дают единицу. Если событию А соответствует M частных случаев из полной группы в N равновозможных событий, то Вероятностью события А называют величину . Вероятность события есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим событие А = {набрана нужная цифра}. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов = 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А только один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность: .

Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры разные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим В = {набраны нужные цифры}. Сколько можно набрать различных цифр? Сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по 2: . Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В только один исход. Искомая вероятность: .

Пример 3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А).

Решение. Общее число равновозможных исходов испытания равно , т. к. каждое число, выпавшее на одном кубике, может сочетаться со всеми числами на другом. Событию А благоприятствуют 3 исхода: {1,3}, {2,2}, {3,1}. Искомая вероятность: .

Пример 4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10: . Определим число исходов, благоприятствующих событию А = {среди 6 взятых деталей 4 стандартных}. 4 стандартные детали из 7 можно взять способами. При этом остальные 2 детали должны быть нестандартными. Взять 2 нестандартные детали из 3 можно способами. Число благоприятных исходов равно . Искомая вероятность: .

Теоретическая часть

1.
Набирая номер телефона, абонент забыл
одну цифру и набрал ее наудачу. Найти
вероятность того, что набрана нужная
цифра.

Решение.
Обозначим через А
событие –
набрана нужная цифра. Абонент мог набрать
любую из 10 цифр, поэтому общее число
возможных элементарных исходов равно
10. Эти исходы несовместны, равновозможные
и образуют полную группу. Благоприятствует
собы­тию А
лишь один
исход (нужная цифра лишь одна). Искомая
веро­ятность равна отношению числа
исходов, благоприятствующих событию,
к числу всех элементарных исходов: Р
(А)= 1/10.

2.
Набирая номер телефона, абонент забыл
последние две цифры и, помня лишь, что
эти цифры различны, набрал их на­удачу.
Найти вероятность того, что набраны
нужные цифры,

Решение.
Обозначим через В
событие –
набраны две нужные цифры. Всего можно
набрать столько различных цифр, сколько
может быть составлено размещений из
десяти цифр по две, т. е. 10-9 = 90. Таким
образом, общее число возможных элементарных
исходов равно 90. Эти исходы несовместны,
равновозможные и образуют полную группу.
Благоприятствует событию В
лишь один
исход. Искомая вероятность равна
отношению числа исходов, благо­приятствующих
событию, к числу всех элементарных
исходов; Р
(В) = 1/90.

3.
Брошены две игральные кости. Найти
вероятность того, что сумма выпавших
очков равна 4

Решение.
Общее число равновозможных ис­ходов
испытания равно 6-6 = 36 (каждое число
выпавших очков на одной кости может
сочетаться со всеми числами очков другой
кости). Среди этих исходов благоприятствуют
событию А
только 3
исхода: (I; 3), (3; I), (2; 2) (в скобках указаны
числа выпавших очков). Следовательно,
искомая вероятность P(A)=3:36=1/12.

4.
В партии из 10 деталей 7 стандартных.
Найти вероят­ность того, что среди 6
взятых наудачу деталей 4 стандартных.
Ответ 0,5

3. Вычисление вероятностей событий и комбинаторика.

Комбинаторные
задачи в теории вероятностей имею
большое практическое применение..
Рассмотрим решения некоторые из таких
задач

Задание
3-1 . Решить
задачи средствами комбинаторики

1.
Наудачу выбирается трехзначное число
в десятичной записи числа, в которой
нет нуля. Какова вероятность того, что
у выбранного числа ровно 2 одинаковые
цифры?

Решение.
Представим себе, что на 9 одинаковых
карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор
наудачу трехзначного числа равносилен
последова­тельному извлечению с
возвращением из урны 3 карточек и
записы­ванием цифр в порядке их
появления. Следовательно, число всех
элементарных исходов опыта равно 9³
= 729. Количество благо­приятных случаев
для интересующего нас события подсчитаем
так: 2 различные цифры х
и у
можно выбрать
= 36
способами; если х
и у
выбраны, то
из них можно составить 3 различных числа
в которых встречается одна из выбранных
цифр и другая – тоже три. Всего 6 раз,
Число благоприятствующих случаев
окажется равным 36 . Искомая вероятность
равна: P=216/729=8/27.

Рекомендуется
решить эту задачу, если в записи числа
используется и цифра 0.

2.
Из букв слова “ротор”, составленного
с помощью разрезной азбуки, наудачу
последовательно извлекаются 3 бук­вы
и складываются в ряд. Какова вероятность
того, что получится слово “тор”?

Решение.
Чтобы отличать одинаковые буквы друг
от дру­га, снабдим их номерами: p_lt
p₂,
o_lf
o₃.
Тогда общее число элемен­тарных
исходов равно: размещению из 5 по 3, равное
60. Слово “тор” получится в 1 ·2 ·2= 4
случаях. Это понятно из того, что, буква
“Т может быть выбранной только 1 раз,
буквы “О” и “Р” каждая по 2 раза.
Р=4/60=1/15.

При
подсчете числа благоприятных случаев
мы здесь восполь­зовались правилом
произведения:

З.
В партии из
n деталей
имеется f бракованных. Какова вероятность
того, что среди наудачу отобранных k
дета­лей
окажется s бракованных?

Решение.
Количество всех элементарных исходов
равно числу сочетаний из n по k.
Бракованные детали. могут быть выбранными
только из бракованных. Число выбора их
равно числу сочетаний из f по s. Остались
k-s выбранные не бракованные детали. Они
будут выбраны из не бракованных деталей,
число которых равно n-f. Вариантов их
выбора равно числу сочетаний из n-f по
k-s. Ответ:

4.
В бригаде 4
женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады
разыгрываются 4 билета в театр. Какова
вероятность того, что среди обладателей
билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?

Решение.
Применим схему статистического выбора.
Из 7членов бригады 4 человека можно
выбрать 35 способами, сле­довательно,
число всех элементарных исходов испытания
равно 35. Далее, из 4 женщин можно выбрать
2 женщин 6 способами (число сочетаний из
4 по2). Аналогично, из 3 мужчин можно
выбрать 2 мужчин 3 способами. Тогда число
благоприятных случаев будет равно 6 ·
3 = 18. Р=18/35

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Вы зашли на страницу вопроса Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны и не равны нулю , набрал их наудачу?, который относится к
категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной
программе для учащихся 10 — 11 классов. В этой же категории вы найдете ответ
и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью
автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в
комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для
обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют,
создайте свой вариант запроса в верхней строке.