Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона однако помнит что она нечетная

Вариант – 22

1.Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она

нечетная. Составить закон распределения случайной величины X – числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру не набирает повторно.

Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

2.Экзаменатор задает студенту не более четырех дополнительных вопросов. Вероятность того, что студент ответит на любой вопрос, равна 0,9. Преподаватель прекращает экзамен, как только студент обнаружил незнание данного вопроса. Составить закон распределения случайной величины X – числа дополнительных вопросов, которые задает преподаватель студенту. Найти математическое ожидание и дисперсию.

3.Случайная величина X принимает два значения: x1 и x2 = 2. Найти функцию распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание MX=0,4, а дисперсия DX =3,38.

4.X, Y, Z – случайные величины: X – выручка фирмы, Y – ее затраты, Z = X — Y – прибыль. Найти распределение прибыли Z, если затраты и выручка заданы распределениями:

Найти математическое ожидание MZ и дисперсию DZ.

5.Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ; 4) вероятность P(1 ≤ X < 3) . Построить графики f(x), F(x).

6.Случайная величина X распределена по закону «прямоугольного треугольника в интервале

(0;c)

f(x)

7.Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром λ . Найти плот-

ность распределения случайной величины Y = X 2 и вероятность P(Y <1/ λ2 ) .

8. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длинна), равным 40 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 25 и не более 55 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: 1) больше 46 мм; 2) меньше 31 мм.

91

Вариант – 24

1. На пути движения автомашины четыре светофора. Каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти: 1) функцию распределения случайной величины X – числа пройденных автомашиной светофоров до первой остановки и построить ее график; 2) математическое ожидание MX, дисперсию DX и среднее квадратическое отклонение σ.

2. Вероятность выигрыша по облигации займа за время его действия равна 0,1. Некто приобрел 6 облигаций. Определить закон распределения случайной величины X – числа выигравших облигаций. Найти математическое ожидание MX, дисперсию DX и среднее квадратическое отклонение σ этой случайной величины.

3. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x1 = -1 с вероятностью p1; x2 с вероятностью p2 = 0,2 и x3 = 4 с вероятностью p3 = 0,2. Найти MX, зная, что DX

= 4,96.

4. X, Y, Z – случайные величины: X – выручка фирмы, Y – ее затраты, Z=X-Y – прибыль. Найти распределение прибыли Z, если затраты и выручка заданы распределениями:

Убедиться, что M ( X −Y ) = MX − MY , D( X −Y ) = DX + DY .

5. Плотность распределения непрерывной случайной величины задается формулой:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) функцию распределения F(x); 3) MX, DX, σ. Построить график функции f(x).

6.Известна функция распределения непрерывной случайной величины X.

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ; 4) вероятность P(1 ≤ X < 3) . Построить графики

7.Пологая, что рост мужчины определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина X с параметрами распределения a = 173 и σ2 = 25 , найти: 1) плотность распределения f(x) и функцию распределения F(x); 2) долю костюмов третьего (170 – 176 см) и четвертого (176 – 182 см) роста, которые можно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы.

8.Коробки с шоколадом упаковываются автоматически: их средняя масса 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если 5% коробок имеет массу, меньшую 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

93

Вариант – 25

1.Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,1. Для проверки качества изготовляемых изделий отдел технического контроля (ОТК) берет из партии не более четырех деталей. При обнаружении нестандартного изделия вся партия задерживается. Написать закон распределения случайной величины X – числа изделий, проверяемых ОТК в каждой партии. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

2.Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Случайная величина X – количество обрывов нити на одном веретене в течение минуты. Найти: 1) математическое ожидание MX и дисперсию DX; 2) вероятность того, что в течение минуты обрыв произойдет на пяти веретёнах.

3.Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x1 = -1 с вероятностью p1 = 0,6; x2 = 3 с вероятностью p2 = 0,2 и x3 с вероятностью p3. Найти DX, зная, что MX

= 0,8.

4.Сделано два высокорискованных вклада: 100 тыс. руб. в компанию A и 150 тыс. руб. – в компанию B. Компания A обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью – 0,5. Компания B обещает 40% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью – 0,2. Составить закон распределения случайной величины X – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год. Найти математическое ожидание MX.

5.Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

6. Средний диаметр ствола деревьев на некотором участке равен 25 см, среднее квадратическое отклонение равно 5 см. Считая диаметр ствола случайной величиной X, распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20 см.

8.Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Полагая, что при отсчете ошибка измерения распределена по равномерному закону. Найти: 1) MX, DX, σ; 2) вероятность того, что ошибка округления: 1)

менее 0,02; 2) более 0,04.

94

ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблица I. Основные законы распределения

95

96

97

Список литературы

1.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2002.

2.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2002.

3.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

4.Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Теория вероятностей и математическая статистика. – Минск, Вышейшая школа,1993.

98

4. Насколько я понимаю, число благоприятных исходов — 6*5*4 (6 вариантов для первого броска, 5 — для второго, 4 — для третьего). Общее число исходов — 6^3. Тогда вероятность, по классическому определению, равна (6*5*4)/(6^3)=20/36=5/9

про первое вот интересно, распределение случайной величины равномерное или нормальное.

Задача 3.
1) Нечетных цифр 5 штук, верояность набрать нужную цифру из 5-ти P(1) = 1/5 = 0,2.

2) При повторном наборе, вероятность которого 4/5, «неудачную» цифру абонент набирать не будет, их остается 4, вероятность найти «нужную» 1/4. Значит вероятность P(2) = (4/5) * (1/4) = 1/5 = 0,2.

3) Вероятность того, что нужно «угадывать» цифру в третий раз (4/5) * (3/4) = 3/5 (или же 1 — (Р(1) + Р(2)) = 1 — (1/5 + 1/5) = 3/5, что то же самое). Выбирать абонет будет из 3 оставшихся цифр, вероятнось набрать нужную 1/3. P(3) = (3/5)*(1/3) = 1/5 = 0,2.

4) Думаю, далее сюжэт понятен: P(4) = (4/5)*(3/4)*(2/3)*(1/2) = 1/5 = 0,2.

5) Ну и на последней, 5-ой попытке угадывать цифру не придется, непроверенной останется одна. Вероятность такой ситуации P(5)=1 — (P(1)+P(2)+P(3)+P(4))= 0,2.

Занимательно… Число попыток бедет иметь «раномерное дискретное» распределение с вероятностью 0,2:
x I p(x)
1 I 0,2
2 I 0,2
3 I 0,2
4 I 0,2
5 I 0,2

Задача 2.
по условию, n=1000, p=0.25, q=1-p=0.75
2Ф(e*sqrt(n/pq))=0.95 (0,95 — заданная нам вероятность отклонения)
подставим числа, получим:
Ф(е*73,0297)=0,475
из таблицы значений Ф (функции Лапласа), найдем, что Ф(1,96)=0,475.
Значит, е*73,0297=1,96, откуда е=0,0268
Тогда с вероятностью 0,95 отклонение относительной частоты числа покупателей 41 размера от вероятности 0,25 удовлетворяет неравенству:
|x/1000 — 0.25|<=0.0268
-0.0268<= x/1000 — 0.25<=0.0268
223.2 <= x <= 276.8

Итак, число покупателей 41 размера из каждой 1000 человек с вероятностью не меньше 0,95 лежит в пределах от 224 до 276 человек.